208 lines
5.9 KiB
TeX
208 lines
5.9 KiB
TeX
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
|
||
|
||
% Настройки для работы с русским языком в XeLaTeX
|
||
\usepackage{fontspec}
|
||
\usepackage{polyglossia}
|
||
\setmainlanguage{russian}
|
||
\setotherlanguage{english}
|
||
|
||
% Базовые шрифты (используют стандартные системные шрифты)
|
||
\setmainfont{Times New Roman}
|
||
\newfontfamily{\cyrillicfont}{Times New Roman}
|
||
|
||
% Математика и графика
|
||
\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts}
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
|
||
% Геометрия страницы
|
||
\usepackage{geometry}
|
||
\geometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2.5cm, right=2cm}
|
||
|
||
% Списки и ссылки
|
||
\usepackage{enumitem}
|
||
\usepackage{hyperref}
|
||
|
||
% Схемы моделей
|
||
\usepackage{tikz}
|
||
\usetikzlibrary{arrows.meta}
|
||
|
||
\title{Кинетическая модель \textbf{№5} \\ NMDA-канала}
|
||
\author{Теоретический вывод}
|
||
\date{}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\maketitle
|
||
|
||
\section{Схема модели}
|
||
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{figure}[h!]
|
||
\centering
|
||
\begin{tikzpicture}[->, >=Stealth, node distance=2cm, thick]
|
||
% Узлы (вещества)
|
||
\node (O*) {$O^*$};
|
||
\node (O_B) [right of=O*] {$O_B$};
|
||
|
||
% Переходы (реакции)
|
||
% Верхняя стрелка смещена на 2pt вверх, нижняя — на 2pt вниз
|
||
\draw ([yshift=2pt]O*.east) -- ([yshift=2pt]O_B.west) node [midway, above] {$k_1[B]$};
|
||
\draw ([yshift=-2pt]O_B.west) -- ([yshift=-2pt]O*.east) node [midway, below] {$k_2$};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\end{figure}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\textbf{Обозначения:}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $O^*$ – открытый (проводящий) канал, связанный с агонистом
|
||
\item $O_B$ – открытый заблокированный канал
|
||
\item $[B]$ – концентрация блокатора (переменная)
|
||
\item $k_1, k_2$ – константы связывания/диссоциации блокатора
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\section{Дифференциальные уравнения}
|
||
|
||
Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая изменение вероятности обнаружения канала в каждом состоянии, имеет вид:
|
||
|
||
\[
|
||
\begin{cases}
|
||
\dfrac{d[O^*]}{dt} = -k_1[B][O^*] + k_2[O_B] \\\\
|
||
\dfrac{d[O_B]}{dt} = k_1[B][O^*] - k_2[O_B]
|
||
\end{cases}
|
||
\]
|
||
|
||
Условие нормировки:
|
||
\[
|
||
[O^*] + [O_B] = 1
|
||
\]
|
||
|
||
\section{Решение системы дифференциальных уравнений}
|
||
|
||
\subsection{Матричная форма}
|
||
|
||
Система может быть записана как:
|
||
\[
|
||
\frac{d\mathbf{X}}{dt} = \mathbf{A} \mathbf{X},
|
||
\]
|
||
где
|
||
\[
|
||
\mathbf{X} = \begin{pmatrix}
|
||
[O^*] \\ [O_B]
|
||
\end{pmatrix}; \;
|
||
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
|
||
-k_1[B] & k_2 \\
|
||
k_1[B] & -k_2 \\
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
|
||
|
||
\subsection{Нахождение собственных значений}
|
||
|
||
Решение ищется в виде
|
||
\[
|
||
\mathbf{X}(t) = e^{At}C
|
||
\]
|
||
|
||
Собственные числа матрицы определяются как корни её характерестическим многочленом
|
||
\[
|
||
\chi_A(\lambda)= |A-\lambda I| = k_1[B] \lambda + k_2 \lambda + \lambda^2 = 0
|
||
\]
|
||
\[\begin{cases}
|
||
\lambda_1 = 0 \\
|
||
\lambda_2 = -k_1[B] - k_2
|
||
\end{cases}\]
|
||
|
||
Собственные вектора определяются как базис решения
|
||
\[A - \lambda_i I = 0\]
|
||
|
||
\[
|
||
v_1 = \begin{pmatrix}\frac{k_2}{k_1[B]}\\1\end{pmatrix};\;
|
||
v_2 = \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}
|
||
\]
|
||
|
||
Тогда можно диаганализовать $A = (v_1, v_2) \cdot diag(\lambda_1, \lambda_2) (v_1, v_2)^{-1}$ и получить
|
||
\[
|
||
X(t) = P\exp(diag(\lambda_1, \lambda_2)t)C
|
||
\]
|
||
|
||
Имеем
|
||
\[
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
[O^*] \\ [O_B]
|
||
\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
\frac{k_2}{k_1[B]} & -1 \\
|
||
1 & 1
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
1 & 0 \\
|
||
0 & e^{(-k_1[B] - k_2)t}
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
C_1 \\ C_2
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
|
||
|
||
Или
|
||
|
||
\[\begin{cases}
|
||
[O^*] = \frac{k_{2}}{k_{1}[B]}C_{1}-C_{2}e^{-(k_{1}[B]+k_{2})t} \\
|
||
[O_B] = C_{1}+C_{2}e^{-(k_{1}[B]+k_{2})t}
|
||
\end{cases}\]
|
||
|
||
Константы определяются через начальное состояние
|
||
|
||
\[\begin{cases}
|
||
[O^*](0) = \frac{k_{2}}{k_{1}[B]}C_{1}-C_{2} \\
|
||
[O_B](0) = C_{1}+C_{2} \\
|
||
[O^*](0) + [O_B](0) = 1
|
||
\end{cases}
|
||
;\;
|
||
\begin{cases}
|
||
C_1 = \frac{k_{1}[B]}{k_{1}[B] + k_{2}} \\
|
||
C_2 = \frac{k_2}{k_{1}[B] + k_{2}} - [O^*](0)
|
||
\end{cases}\]
|
||
|
||
Тогда имеем
|
||
\[[O^*](t) = \frac{k_2}{k_{1}[B] + k_{2}} + ([O^*](0) - \frac{k_2}{k_{1}[B] + k_{2}})e^{-(k_{1}[B]+k_{2})t}\]
|
||
|
||
\subsection{Ток через мембрану}
|
||
Величина тока пропорциональна концентрации открытых каналов
|
||
|
||
\[I(t) = I_{S} \cdot [O^*](t)\]
|
||
|
||
Где $I_{S}$ - это стационарный ток, максимального открытия каналов
|
||
|
||
\[\frac{I(t)}{I_{S}} = \frac{k_2}{k_{1}[B] + k_{2}} + ([O^*](0) - \frac{k_2}{k_{1}[B] + k_{2}})e^{-(k_{1}[B]+k_{2})t}\]
|
||
|
||
В процессе блокады, $[O^*](0) = 1$
|
||
|
||
\[\frac{I(t)_{on}}{I_{S}} = \frac{k_2}{k_{1}[B] + k_{2}} + \frac{k_1[B]}{k_{1}[B] + k_{2}}e^{-(k_{1}[B]+k_{2})t}\]
|
||
|
||
Введём обозначения
|
||
|
||
\[\begin{cases}
|
||
A = \frac{k_{1}[B]}{k_{1}[B] + k_{2}} \\
|
||
\tau_{on} = \frac{1}{k_{1}[B]+k_{2}} \\
|
||
\tau_{off} = \frac{1}{k_2}
|
||
\end{cases}
|
||
\]
|
||
|
||
\[\frac{{I(t)}_{on}}{I_{S}} = (1-A) + Ae^{-t/\tau}\]
|
||
|
||
В процессе релаксации
|
||
\[
|
||
\begin{cases}
|
||
[O^*](0) = \lim_{t \to +\infty} \frac{{I(t)}_{on}}{I_{S}} = 1 - A \\
|
||
[B] = 0
|
||
\end{cases}
|
||
\]
|
||
|
||
\[\frac{I(t)_{off}}{I_{S}} = 1 - Ae^{-t/\tau_off}\]
|
||
|
||
\section{Вычисление констант из экспериментальных данных}
|
||
|
||
\[\begin{cases}
|
||
k_2 = \frac{1}{\tau_{s}}\\
|
||
k_1 = \dfrac{\tau_{off} - \tau_{on}}{[B]\tau_{on}\tau_{off}}
|
||
\end{cases}\]
|
||
\end{document} |