\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{geometry}
\geometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2.5cm, right=2cm}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{hyperref}



\title{Кинетическая модель \textbf{<Название модели>} \\ NMDA-канала}
\author{Теоретический вывод}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\section{Схема модели}

\begin{center}
% Здесь будет графическая или текстовая схема переходов
% Пример:
% \[
% C \xrightleftharpoons[l_2]{l_1[A]} C_A \xrightleftharpoons[\alpha]{\beta} O^* \xrightleftharpoons[k_2]{k_1[B]} O_B
% \]
\end{center}

\textbf{Обозначения:}
\begin{itemize}[label=--]
    \item $C$ – закрытый канал, не связанный с агонистом
    \item $C_A$ – закрытый канал, связанный с агонистом
    \item $O^*$ – открытый (проводящий) канал, связанный с агонистом
    \item $O_B$ – открытый заблокированный канал
    \item $[A]$ – концентрация агониста (постоянная)
    \item $[B]$ – концентрация блокатора (переменная)
    \item $l_1, l_2$ – константы связывания/диссоциации агониста
    \item $\beta, \alpha$ – константы открытия/закрытия канала
    \item $k_1, k_2$ – константы связывания/диссоциации блокатора
\end{itemize}

\section{Дифференциальные уравнения}

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая изменение вероятностей нахождения канала в каждом состоянии, имеет вид:

\[
\begin{cases}
\dfrac{d[C]}{dt} = -l_1[A][C] + l_2[C_A] \\[10pt]
\dfrac{d[C_A]}{dt} = l_1[A][C] - (l_2 + \beta)[C_A] + \alpha[O^*] \\[10pt]
\dfrac{d[O^*]}{dt} = \beta[C_A] - (\alpha + k_1[B])[O^*] + k_2[O_B] \\[10pt]
\dfrac{d[O_B]}{dt} = k_1[B][O^*] - k_2[O_B]
\end{cases}
\]

Условие нормировки:
\[
[C] + [C_A] + [O^*] + [O_B] = 1.
\]

\section{Решение системы дифференциальных уравнений}

\subsection{Матричная форма}

Система может быть записана как:
\[
\frac{d\mathbf{X}}{dt} = \mathbf{A} \mathbf{X},
\]
где $\mathbf{X} = ([C], [C_A], [O^*], [O_B])^T$, а $\mathbf{A}$ – матрица коэффициентов.

Для данной модели матрица $\mathbf{A}$ имеет вид:
\[
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
-l_1[A] & l_2 & 0 & 0 \\
l_1[A] & -(l_2+\beta) & \alpha & 0 \\
0 & \beta & -(\alpha+k_1[B]) & k_2 \\
0 & 0 & k_1[B] & -k_2
\end{pmatrix}.
\]

\subsection{Нахождение собственных значений}

Решение ищется в виде $\mathbf{X}(t) = \sum_{i=1}^{4} C_i \mathbf{v}_i e^{\lambda_i t}$, где $\lambda_i$ – собственные значения $\mathbf{A}$ (корни характеристического полинома $|\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}| = 0$).

Одно из собственных значений всегда равно нулю ($\lambda_1 = 0$), остальные $\lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$ – отрицательные действительные числа (или комплексно-сопряжённые с отрицательной действительной частью).

Для быстрых блокаторов ($k_2$ велика) и при насыщающей концентрации агониста система упрощается: переходы $C \to C_A \to O^*$ считаются быстрыми, и модель редуцируется до двух экспонент.

\subsection{Двухэкспоненциальная аппроксимация}

В условиях непрерывного присутствия агониста (высокая $[A]$) и когда блокировка медленнее активации, кинетика тока $I(t)$ при добавлении или удалении блокатора описывается суммой двух экспонент:

\[
I(t) = I_S + (I_B - I_S) \left[ A_{fast} e^{-t/\tau_{fast}} + (1 - A_{fast}) e^{-t/\tau_{slow}} \right],
\]

где:
\begin{itemize}
    \item $I_S$ – стационарный ток до применения блокатора,
    \item $I_B$ – стационарный ток в присутствии блокатора,
    \item $A_{fast}$ – амплитуда быстрой компоненты,
    \item $\tau_{fast}, \tau_{slow}$ – быстрая и медленная постоянные времени.
\end{itemize}

\subsection{Связь $\tau_{fast}, \tau_{slow}$ с кинетическими константами}

Для модели <название модели> получены следующие соотношения (приводятся в соответствующем разделе литературы):

\[
\frac{1}{\tau_{fast}} = \lambda_2 = \frac{1}{2}\left( P + Q - \sqrt{(P-Q)^2 + 4R} \right),
\]
\[
\frac{1}{\tau_{slow}} = \lambda_3 = \frac{1}{2}\left( P + Q + \sqrt{(P-Q)^2 + 4R} \right),
\]
где $P, Q, R$ – функции констант $k_1, k_2, k_3, k_4$ и концентраций $[A], [B]$.

В частном случае (для модели последовательного связывания двух молекул) получаем:

\[
\frac{1}{\tau_{fast}^{off}} = k_2, \quad \frac{1}{\tau_{slow}^{off}} = k_4,
\]
\[
\frac{1}{\tau_{fast}^{on}} = k_1[B] + k_2, \quad \frac{1}{\tau_{slow}^{on}} = k_3[B] + k_4.
\]

\section{Вычисление констант из экспериментальных данных}

\subsection{Необходимые экспериментальные данные}

Для определения неизвестных кинетических параметров модели требуются следующие измерения (при фиксированной концентрации агониста $[A] = const$, обычно насыщающей):

\begin{enumerate}
    \item Зависимость $\tau_{fast}^{on}$ и $\tau_{slow}^{on}$ от концентрации блокатора $[B]$.
    \item Зависимость $\tau_{fast}^{off}$ и $\tau_{slow}^{off}$ от $[B]$ (обычно постоянны).
    \item Амплитуда быстрой компоненты $A_{fast}^{off}$ как функция $[B]$.
    \item Стационарная блокада $I_B/I_S$ как функция $[B]$.
\end{enumerate}

\subsection{Алгоритм расчёта констант}

\subsubsection{Шаг 1. Определение $k_2$ и $k_4$}

Если модель предсказывает независимость $\tau_{fast}^{off}$ и $\tau_{slow}^{off}$ от $[B]$, то:

\[
k_2 = \frac{1}{\tau_{fast}^{off}}, \quad k_4 = \frac{1}{\tau_{slow}^{off}}.
\]

\subsubsection{Шаг 2. Определение $k_1$ и $k_3$}

Из зависимостей $\tau_{fast}^{on}([B])$ и $\tau_{slow}^{on}([B])$:

\[
\frac{1}{\tau_{fast}^{on}} = k_1 [B] + k_2 \quad \Rightarrow \quad k_1 = \frac{d(1/\tau_{fast}^{on})}{d[B]},
\]
\[
\frac{1}{\tau_{slow}^{on}} = k_3 [B] + k_4 \quad \Rightarrow \quad k_3 = \frac{d(1/\tau_{slow}^{on})}{d[B]}.
\]

\subsubsection{Шаг 3. Проверка через $A_{fast}^{off}$}

Выражение для $A_{fast}^{off}$ через константы модели (выводится из собственных векторов):

\[
A_{fast}^{off} = \frac{1 - \frac{k_3}{k_2}[B]}{1 + \frac{k_3}{k_4}[B]}.
\]

Подстановка найденных $k_2, k_3, k_4$ должна воспроизвести экспериментальную зависимость $A_{fast}^{off}([B])$. 

\subsubsection{Шаг 4. Проверка через стационарную блокаду}

Стационарная блокада при равновесии:

\[
\frac{I_B}{I_S} = \frac{[O^*]_{[B]\neq0}}{[O^*]_{[B]=0}} = \frac{1}{1 + \frac{k_1}{k_2}[B] + \frac{k_1 k_3}{k_2 k_4}[B]^2}.
\]

Сравнение рассчитанной кривой с экспериментальной служит финальной верификацией модели.

\subsection{Численный пример (гипотетический)}

Для иллюстрации: при $[B] = 10\ \mu\text{M}$ экспериментальные значения:
\[
\tau_{fast}^{off} = 1\ \text{с} \Rightarrow k_2 = 1\ \text{с}^{-1},
\]
\[
\tau_{slow}^{off} = 10\ \text{с} \Rightarrow k_4 = 0.1\ \text{с}^{-1},
\]
\[
1/\tau_{fast}^{on} = 1.1\ \text{с}^{-1} \text{ при } [B]=10\ \mu\text{M} \Rightarrow k_1 = 0.01\ \mu\text{M}^{-1}\text{с}^{-1}.
\]

Затем по формулам вычисляется $A_{fast}^{off}$ и $I_B/I_S$, сравнивается с экспериментом.

\section{Заключение}

В данном файле представлена общая методология вывода кинетической модели NMDA-канала. Для конкретной модели \textbf{<Название модели>} в соответствующих разделах следует подставить:
\begin{itemize}
    \item конкретную схему переходов,
    \item матрицу $\mathbf{A}$ соответствующей размерности,
    \item аналитические выражения для $\tau_{fast}, \tau_{slow}, A_{fast}$,
    \item экспериментальные значения из статей (таблицы, графики).
\end{itemize}

\end{document}